MIT 6.837：Mass-Spring 质点-弹簧系统

质点-弹簧系统也是一种常用于进行物理模拟的模型，可以通过恰当的建模来模拟绳子、布料等具有一定弹性的物体。

弹力

弹力是一个我们自初中就接触的话题，根据 Hooke 定律，弹簧内部的弹力与形变量成正比，比例系数定义为 $K \ (\mathrm{N/m})$，方向朝形变的反方向，形式化表达为

$$ \boldsymbol{F}(\boldsymbol{P}_i, \boldsymbol{P}_j) = K (L_0 – || \boldsymbol{P}_i\boldsymbol{P}_j ||) \frac{\boldsymbol{P}_i\boldsymbol{P}_j}{|| \boldsymbol{P}_i\boldsymbol{P}_j ||} $$

质点-弹簧系统

结构

对于一些有弹性的物体，我们可以利用弹簧这一模型反映内部的弹力，结合粒子系统的思想，就得到了质点-弹簧系统。系统中包含若干质点，以及将质点连起来的弹簧网络。这一模型可用于模拟绳子、布料、头发等材质。

力分析

在质点-弹簧系统中包含三种力：

• 结构力：反映系统中一些不变参数的力，例如某点的位置固定等，这实际上是一组常量约束
• 内部变形力：当结构变形时，产生的弹力，例如布垂下时向上拉、希望将其变平的力
• 外部力：重力等外界因素对系统产生的力

模型

头发

头发可看做是难以伸长、易于弯曲、弯曲引起弹力的模型。与常规的弹簧不同，对头发的建模应将变形力与弯曲程度关联，可取质点所连线之间的夹角反映弯曲程度。

布料

布料通常利用质点和弹簧织成的网络建模，其中包含多种弹簧：

• 结构弹簧：连接同行同列的相邻质点，将质点连接成一个面
• 剪力弹簧：四边形容易被拉伸变形，布料并不易受剪力变形，因此添加对角相邻的弹簧以抵抗这种变形
• 弯曲弹簧：同行同列隔一个质点连接，用于提供抵抗布料弯曲的力

布料模拟时通常会添加约束，例如规定悬挂布料的位置。悬挂处位置不变，故受力应当为 0，此处的结构力应为该点所受其他力合力的反向，故不为一个确定的力，而随其受其他力的情况变化。实现时，不必计算此力，而可以直接忽略添加了约束的点的受力即可。

布料模拟中也可能会遇到一些问题：

• 弹性问题：布料的形变通常较小，需要合理设置弹簧的弹性系数来避免形变过大，也可限制布料的形变程度
• 离散化问题：离散化得到的质点数会影响模拟结果，因此需要选用恰当的质点数，以得到和现实情况类似的结果
• 碰撞问题：质点数很多时，布料与其他物体的碰撞是一个很棘手的问题，因此需要解决碰撞检测与稳定性问题