题目地址：洛谷：【P2607】[ZJOI2008]骑士 – 洛谷、BZOJ：Problem 1040. — [ZJOI2008]骑士

题目描述

Z国的骑士团是一个很有势力的组织，帮会中汇聚了来自各地的精英。他们劫富济贫，惩恶扬善，受到社会各界的赞扬。
最近发生了一件可怕的事情，邪恶的Y国发动了一场针对Z国的侵略战争。战火绵延五百里，在和平环境中安逸了数百年的Z国又怎能抵挡的住Y国的军队。于是人们把所有的希望都寄托在了骑士团的身上，就像期待有一个真龙天子的降生，带领正义打败邪恶。
骑士团是肯定具有打败邪恶势力的能力的，但是骑士们互相之间往往有一些矛盾。每个骑士都有且仅有一个自己最厌恶的骑士（当然不是他自己），他是绝对不会与自己最厌恶的人一同出征的。
战火绵延，人民生灵涂炭，组织起一个骑士军团加入战斗刻不容缓！国王交给了你一个艰巨的任务，从所有的骑士中选出一个骑士军团，使得军团内没有矛盾的两人（不存在一个骑士与他最痛恨的人一同被选入骑士军团的情况），并且，使得这支骑士军团最具有战斗力。
为了描述战斗力，我们将骑士按照1至N编号，给每名骑士一个战斗力的估计，一个军团的战斗力为所有骑士的战斗力总和。

题意简述

有$n$个人，每个人有一个讨厌的人和一个权值，求集合内不存在讨厌的人的最大权集合。

输入输出格式

输入格式：
输入文件knight.in第一行包含一个正整数N，描述骑士团的人数。
接下来N行，每行两个正整数，按顺序描述每一名骑士的战斗力和他最痛恨的骑士。

输出格式：
输出文件knight.out应包含一行，包含一个整数，表示你所选出的骑士军团的战斗力。

输入输出样例

输入样例#1：

3
10 2
20 3
30 1

输出样例#1：

30

说明

对于30%的测试数据，满足N ≤ 10；
对于60%的测试数据，满足N ≤ 100；
对于80%的测试数据，满足N ≤ 10 000。
对于100%的测试数据，满足N ≤ 1 000 000，每名骑士的战斗力都是不大于 1 000 000的正整数。

题解

我们可以看到一个人只有一个讨厌的人，因此，可以确定对于每个连通块，一定是一个基环树（连通块中只含一个环，环上的每个节点可能挂着有树）。如果不考虑环，这个题目和“没有上司的舞会”模型相同，即$dp[0/1][u]$表示$u$这个节点选或不选，其子树的最大权值，转移一遍DFS。现在考虑环，我们考虑把环的任意一条边断开，分别从两端跑DP，从两端的$dp[0][u]$中找出最大值即可。
复杂度$O(n)$。

代码

// Code by KSkun, 2018/7
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>

#include <algorithm>

typedef long long LL;

inline char fgc() {
    static char buf[100000], *p1 = buf, *p2 = buf;
    return p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 100000, stdin), p1 == p2)
        ? EOF : *p1++;
}

inline LL readint() {
    register LL res = 0, neg = 1; register char c = fgc();
    for(; !isdigit(c); c = fgc()) if(c == '-') neg = -1;
    for(; isdigit(c); c = fgc()) res = (res << 1) + (res << 3) + c - '0';
    return res * neg;
}

const int MAXN = 1000005;

struct Edge {
    int to, nxt;
} gra[MAXN << 1];
int head[MAXN], tot;

inline void addedge(int u, int v) {
    gra[tot] = Edge {v, head[u]}; head[u] = tot++;
    gra[tot] = Edge {u, head[v]}; head[v] = tot++;
}

int n, w[MAXN];
LL dp[MAXN][2];

int cl, cr, ce;
bool vis[MAXN];

void dfs(int u, int pre) {
    vis[u] = true;
    for(int i = head[u]; ~i; i = gra[i].nxt) {
        int v = gra[i].to;
        if(i == (pre ^ 1)) continue;
        if(vis[v]) {
            cl = u; cr = v; ce = i; continue;
        }
        dfs(v, i);
    }
}

void dfs_dp(int u, int pre) {
    dp[u][0] = 0; dp[u][1] = w[u];
    for(int i = head[u]; ~i; i = gra[i].nxt) {
        int v = gra[i].to;
        if(i == (pre ^ 1) || i == ce || i == (ce ^ 1)) continue;
        dfs_dp(v, i);
        dp[u][0] += std::max(dp[v][0], dp[v][1]);
        dp[u][1] += dp[v][0];
    }
}

int main() {
    memset(head, -1, sizeof(head));
    n = readint();
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        w[i] = readint(); int t = readint();
        addedge(i, t);
    }
    LL ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        if(vis[i]) continue;
        dfs(i, -1);
        dfs_dp(cl, -1);
        LL mx = dp[cl][0];
        dfs_dp(cr, -1);
        mx = std::max(mx, dp[cr][0]);
        ans += mx;
    }
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}