题目地址：洛谷：【P1954】[NOI2010]航空管制 – 洛谷、BZOJ：Problem 2535. — [Noi2010]Plane 航空管制2

题目描述

世博期间，上海的航空客运量大大超过了平时，随之而来的航空管制也频频发生。最近，小X就因为航空管制，连续两次在机场被延误超过了两小时。对此，小X表示很不满意。
在这次来烟台的路上，小X不幸又一次碰上了航空管制。于是小X开始思考关于航空管制的问题。
假设目前被延误航班共有n个，编号为1至n。机场只有一条起飞跑道，所有的航班需按某个顺序依次起飞（称这个顺序为起飞序列）。定义一个航班的起飞序号为该航班在起飞序列中的位置，即是第几个起飞的航班。
起飞序列还存在两类限制条件：

• 第一类（最晚起飞时间限制）：编号为i的航班起飞序号不得超过ki;
• 第二类（相对起飞顺序限制）：存在一些相对起飞顺序限制(a, b)，表示航班a的起飞时间必须早于航班b，即航班a的起飞序号必须小于航班b的起飞序号。

小X思考的第一个问题是，若给定以上两类限制条件，是否可以计算出一个可行的起飞序列。第二个问题则是，在考虑两类限制条件的情况下，如何求出每个航班在所有可行的起飞序列中的最小起飞序号。

输入输出格式

输入格式：
输入文件plane.in第一行包含两个正整数n和m，n表示航班数目，m表示第二类限制条件（相对起飞顺序限制）的数目。
第二行包含n个正整数k1, k2, …, kn。
接下来m行，每行两个正整数a和b，表示一对相对起飞顺序限制(a, b)，其中1≤a,b≤n, 表示航班a必须先于航班b起飞。

输出格式：
输出文件plane.out由两行组成。
第一行包含n个整数，表示一个可行的起飞序列，相邻两个整数用空格分隔。输入数据保证至少存在一个可行的起飞序列。如果存在多个可行的方案，输出任意一个即可。
第二行包含n个整数t1, t2, …, tn，其中ti表示航班i可能的最小起飞序号，相邻两个整数用空格分隔。

输入输出样例

输入样例#1：

5 5
4 5 2 5 4
1 2
3 2
5 1
3 4
3 1

输出样例#1：

3 5 1 4 2
3 4 1 2 1

输入样例#2：

5 0
3 3 3 5 5

输出样例#2：

3 2 1 5 4
1 1 1 4 4

说明

【样例说明】
在样例1 中：
起飞序列3 5 1 4 2满足了所有的限制条件，所有满足条件的起飞序列有：
3 4 5 1 2 3 5 1 2 4 3 5 1 4 2 3 5 4 1 2
5 3 1 2 4 5 3 1 4 2 5 3 4 1 2
由于存在(5, 1)和(3, 1)两个限制，航班1只能安排在航班5和3之后，故最早起飞时间为3，其他航班类似。
在样例2 中：
虽然航班4、5没有相对起飞顺序限制，但是由于航班1、2、3都必须安排在前3个起飞，所以4、5最早只能安排在第4个起飞。
【数据范围】
对于30%数据：n≤10；
对于60%数据：n≤500；
对于100%数据：n≤2,000，m≤10,000。

题解

第一问，考虑把限制条件建个图，一定是一个DAG，直接进行拓扑排序，只不过拓扑的队列要改成优先队列，优先级按最晚时间限制从小到大排序，这样出来的顺序就是正确的了。
但是考虑第二问的时候，发现就算建反图DFS还可能出现其他需要满足的条件，例如样例2中前三个飞机必须在前三飞。此时我们考虑倒着找，建反图按限制从大到小的顺序拓扑，我们枚举每个飞机u，每次都拓扑一遍，遇到u的时候直接把它设置为不可以被加入队列中，这样就可以无视掉u的前置，直到条件不能被满足位置。倒着拓扑的意义，实质上是在求满足了u以后剩下最多的点。用n减去这个数字就得到了我们想要的答案。
这个做法的复杂度是O(n^2 \log n)的，在洛谷得开O2才能跑过。

代码

// Code by KSkun, 2018/5
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>

#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>

typedef long long LL;

inline char fgc() {
    static char buf[100000], *p1 = buf, *p2 = buf;
    return p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 100000, stdin), p1 == p2) ? EOF 
        : *p1++;
}

inline LL readint() {
    register LL res = 0, neg = 1;
    register char c = fgc();
    while(!isdigit(c)) {
        if(c == '-') neg = -1;
        c = fgc();
    }
    while(isdigit(c)) {
        res = (res << 1) + (res << 3) + c - '0';
        c = fgc();
    }
    return res * neg;
}

const int MAXN = 20005;

std::vector<int> gra[MAXN];
int deg[MAXN];

inline void addedge(int u, int v) {
    gra[u].push_back(v); deg[v]++;
}

int n, m, lim[MAXN];

struct Node {
    int u, lim;
    inline bool operator<(const Node &rhs) const {
        return lim < rhs.lim;
    }
};

int now[MAXN];
int ans[MAXN];

inline void toposort() {
    std::priority_queue<Node> pq;
    memcpy(now, deg, sizeof(deg));
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        if(!now[i]) pq.push(Node {i, lim[i]});
    }
    int cnt = n;
    while(!pq.empty()) {
        int u = pq.top().u; pq.pop();
        ans[cnt--] = u;
        for(int i = 0; i < gra[u].size(); i++) {
            int v = gra[u][i];
            if(!--now[v]) {
                pq.push(Node {v, lim[v]});
            }
        }
    }
}

inline int toposort1(int uu) {
    std::priority_queue<Node> pq;
    memcpy(now, deg, sizeof(deg));
    now[uu] = n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        if(!now[i]) pq.push(Node {i, lim[i]});
    }
    for(int i = n; i; i--) {
        if(pq.empty() || pq.top().lim < i) return i;
        int u = pq.top().u; pq.pop();
        for(int i = 0; i < gra[u].size(); i++) {
            int v = gra[u][i];
            if(!--now[v]) pq.push(Node {v, lim[v]});
        }
    }
}

int main() {
    n = readint(); m = readint();
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        lim[i] = readint();
    }
    for(int i = 1, u, v; i <= m; i++) {
        u = readint(); v = readint();
        addedge(v, u);
    }
    toposort();
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        printf("%d ", ans[i]);
    }
    printf("\n");
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        printf("%d ", toposort1(i));
    }
    return 0;
}