题目地址：洛谷：【P3628】[APIO2010]特别行动队 – 洛谷、BZOJ：Problem 1911. — [Apio2010]特别行动队

题目描述

你有一支由 n 名预备役士兵组成的部队，士兵从 1 到 n 编号，要将他们拆分 成若干特别行动队调入战场。出于默契的考虑，同一支特别行动队中队员的编号 应该连续，即为形如(i, i + 1, …, i + k)的序列。 编号为 i 的士兵的初始战斗力为 xi ，一支特别行动队的初始战斗力 x 为队内 士兵初始战斗力之和，即x = x_i + x_{i+1} + \cdots + x_{i+k}。

通过长期的观察，你总结出一支特别行动队的初始战斗力 x 将按如下经验公 式修正为 x':x'= ax^2+bx+c，其中 a, b, c 是已知的系数（a < 0）。 作为部队统帅，现在你要为这支部队进行编队，使得所有特别行动队修正后 战斗力之和最大。试求出这个最大和。

例如，你有 4 名士兵，x1=2,x2=2,x3=3,x4=4。经验公式中的参数为 a = –1, b = 10, c = –20。此时，最佳方案是将士兵组成 3 个特别行动队：第一队包含士兵 1 和士兵 2，第二队包含士兵 3，第三队包含士兵 4。特别行动队的初始战斗力分 别为 4, 3, 4，修正后的战斗力分别为 4, 1, 4。修正后的战斗力和为 9，没有其它 方案能使修正后的战斗力和更大。

输入输出格式

输入格式：
输入由三行组成。第一行包含一个整数 n，表示士兵的总数。第二行包含三 个整数 a, b, c，经验公式中各项的系数。第三行包含 n 个用空格分隔的整数 x1,x2,…,xn ，分别表示编号为 1, 2, …, n 的士兵的初始战斗力。

输出格式：
输出一个整数，表示所有特别行动队修正后战斗力之和的最大值。

输入输出样例

输入样例#1：

4 
-1 10 -20 
2 2 3 4 

输出样例#1：

9

说明

20%的数据中，n ≤ 1000；
50%的数据中，n ≤ 10,000；
100%的数据中，1 ≤ n ≤ 1,000,000，–5 ≤ a ≤ –1，|b| ≤ 10,000,000，|c| ≤ 10,000,000，1 ≤ xi ≤ 100

题解

首先这个题我们可以很容易写一个方程（s是x数组的前缀和）
dp[i] = \max\{ dp[j] + a * (s[i] - s[j])^2 + b * (s[i] - s[j]) + c \}
然后考虑斜率优化，把它弄成底下这个样子
2as[i]s[j] + dp[i] - as[i]^2 - bs[i] = dp[j] + as[j]^2 - bs[j] + c
那斜率就是s[i]，维护上凸壳，类似[HNOI2008]玩具装箱 题解 & DP斜率优化原理与实现 | KSkun’s Blog一题来维护单调队列即可。

代码

// Code by KSkun, 2018/3
#include <cstdio>

typedef long long LL;

inline char fgc() {
    static char buf[100000], *p1 = buf, *p2 = buf;
    return p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 100000, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++;
}

inline LL readint() {
    register LL res = 0, neg = 1;
    char c = fgc();
    while(c < '0' || c > '9') {
        if(c == '-') neg = -1;
        c = fgc();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9') {
        res = res * 10 + c - '0';
        c = fgc();
    }
    return res * neg;
}

const int MAXN = 1000005;

int n;
LL a, b, c, s[MAXN], q[MAXN], dp[MAXN], l, r;

inline LL sqr(LL x) {
    return x * x;
}

inline double slope(int x, int y) {
    return (dp[y] - dp[x] + a * (sqr(s[y]) - sqr(s[x])) - b * (s[y] - s[x])) / (2.0 * a * (s[y] - s[x]));
}

inline LL caldp(int i, int j) {
    dp[i] = dp[j] + a * sqr(s[i] - s[j]) + b * (s[i] - s[j]) + c;
}

int main() {
    n = readint();
    a = readint();
    b = readint();
    c = readint();
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        s[i] = s[i - 1] + readint();
    }
    l = 1;
    r = 0;
    q[++r] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        while(l < r && slope(q[l], q[l + 1]) <= s[i]) l++;
        caldp(i, q[l]);
        while(l < r && slope(q[r], i) < slope(q[r - 1], q[r])) r--;
        q[++r] = i;
    }
    printf("%lld", dp[n]);
    return 0;
}