题目地址：洛谷：【P4285】[SHOI2008]汉诺塔 – 洛谷、BZOJ：Problem 1019. — [SHOI2008]汉诺塔

题目描述

汉诺塔由三根柱子（分别用A、B、C表示）和n个大小互不相同的空心盘子组成。一开始n个盘子都摞在柱子A上，大的在下面，小的在上面，形成了一个塔状的锥形体。

对汉诺塔的一次合法的操作是指：从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层，同时要保证被移动的盘子一定放在比它更大的盘子上面（如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求）。我们可以用两个字母来描述一次操作：第一个字母代表起始柱子，第二个字母代表目标柱子。例如，AB就是把柱子A最上面的那个盘子移到柱子B。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子B或柱子C上面。
有一种非常简洁而经典的策略可以帮助我们完成这个游戏。首先，在任何操作执行之前，我们以任意的次序为六种操作（AB、AC、BA、BC、CA和CB）赋予不同的优先级，然后，我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子，直到所有的盘子都从柱子A移动到另一根柱子：

1. 这种操作是所有合法操作中优先级最高的；
2. 这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移动的那个盘子。

可以证明，上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级，计算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。

题意简述

汉诺塔问题的六种操作设定优先级后求最优方案步骤数。

输入输出格式

输入格式：
输入有两行。第一行为一个整数n（1≤n≤30），代表盘子的个数。第二行是一串大写的ABC字符，代表六种操作的优先级，靠前的操作具有较高的优先级。每种操作都由一个空格隔开。

输出格式：
只需输出一个数，这个数表示移动的次数。我们保证答案不会超过10的18次方。

输入输出样例

输入样例#1：

3
AB BC CA BA CB AC

输出样例#1：

7

输入样例#2：

2
AB BA CA BC CB AC

输出样例#2：

5

说明

对于20%的数据，n ≤ 10。 对于100%的数据，n ≤ 30。

题解

参考资料：BZOJ 1019 [SHOI2008]汉诺塔 – AI_Believer – 博客园
考虑操作次序的时候，我们并无法直接拿汉诺塔问题的模型直接来做了，需要一些转化。
我们用递推的思路解决这个问题，对柱子编号为1、2、3，设计DP状态为$g[x][i]$表示柱子$x$上有$i$个盘子时，最优方案中把所有$i$个盘子都移到哪个柱子上，而$f[x][i]$的定义与上面的前提相同，记录的是最优方案中都移动到目标柱子的最少步数。
由于操作有优先顺序，在设计初始状态，即$f[x][1]$与$g[x][1]$时需要考虑这个问题，对于每个$x$，设置优先度较大的目标柱$y$为$g[x][1]$的值即可，$f[x][1]=1$。
现在我们考虑如何做转移，对于一个状态$(x, i)$，我们要把前面$i-1$个盘子移动到$y=g[x][i-1]$上，把最大的1个盘子移动到$z=6-x-y$上，然后最后把这些盘子都放进最优解的目标柱上。我们分两种情况讨论：

1. $g[y][i-1]=z$，此时，我们只需要把$y$上的$i-1$个盘子直接移向$z$即可，答案为
   $$\begin{aligned} g[x][i]&=z \\ f[x][i]&=f[x][i-1]+1+f[y][i-1] \end{aligned}$$
2. $g[y][i-1]=x$，此时，我们先把$i-1$从$y$移动到$x$上，然后把$z$上的一个盘子移动到$y$上，再把$x$上的$i-1$个盘子移动到$y$上，这就是最优方案，答案为
   $$\begin{aligned} g[x][i]&=y \\ f[x][i]&=f[x][i-1]+1+f[y][i-1]+1+f[x][i-1] \end{aligned}$$

答案就是$f[1][n]$了。这样做的复杂度是$O(n)$的。

不过听说还有一种思路，就是原来的汉诺塔问题的步骤数递推式是$d_i=2d_{i-1}+1$，现在可以证明步骤数递推式是$d_i=ad_{i-1}+b$形式的，暴力求出$d_1, d_2, d_3$就可以求出$a, b$，然后递推过去。复杂度也是$O(n)$的，只不过我不会证明那个结论。

代码

// Code by KSkun, 2018/7
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>

#include <algorithm>

typedef long long LL;

inline char fgc() {
    static char buf[100000], *p1 = buf, *p2 = buf;
    return p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 100000, stdin), p1 == p2)
        ? EOF : *p1++;
}

inline LL readint() {
    register LL res = 0, neg = 1; register char c = fgc();
    for(; !isdigit(c); c = fgc()) if(c == '-') neg = -1;
    for(; isdigit(c); c = fgc()) res = (res << 1) + (res << 3) + c - '0';
    return res * neg;
}

inline bool isABC(char c) {
    return c == 'A' || c == 'B' || c == 'C';
}

inline char readABC() {
    char c;
    while(!isABC(c = fgc())) {}
    return c;
}

const int MAXN = 35;

int n, g[4][MAXN];
LL f[4][MAXN];

int main() {
    n = readint();
    for(int i = 1; i <= 6; i++) {
        int u = readABC() - 'A' + 1, v = readABC() - 'A' + 1;
        if(!f[u][1]) {
            f[u][1] = 1; g[u][1] = v;
        }
    }
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        for(int x = 1; x <= 3; x++) {
            int y = g[x][i - 1], z = 6 - x - y;
            f[x][i] = f[x][i - 1] + 1;
            if(z == g[y][i - 1]) {
                f[x][i] += f[y][i - 1];
                g[x][i] = z;
            } else {
                f[x][i] += f[y][i - 1] + 1 + f[x][i - 1];
                g[x][i] = y;
            }
        }
    }
    printf("%lld", f[1][n]);
    return 0;
}