数学笔记：矩阵、行列式
矩阵（Matrix）
一个[latex]m \times n[/latex]的矩阵是一个由[latex]m[/latex]行[latex]n[/latex]列元素排列成的矩形阵列。元素可以是数字、符号或数学式。
矩阵的基本运算
加（减）法
[latex]m \times n[/latex]矩阵[latex]\mathbf{A}[/latex]和[latex]\mathbf{B}[/latex]的和（差）：[latex]\mathbf{A} \pm \mathbf{B}[/latex]为一个[latex]m \times n[/latex]矩阵，其中每个元素是A和B相应元素的和（差），也就是说[latex] (\mathbf{A} \pm \mathbf{B})_{i, j} = \mathbf{A}_{i, j} \pm \mathbf{B}_{i, j} [/latex]。
数乘
标量[latex]c[/latex]与矩阵[latex]\mathbf{A}[/latex]的数乘：[latex]c\mathbf{A}[/latex]的每个元素是A的相应元素与c的乘积，也就是说[latex] (c\mathbf{A})_{i, j} = c \cdot \mathbf{A}_{i, j} [/latex]。
转置
[latex]m \times n[/latex]矩阵[latex]\mathbf{A}[/latex]的转置是一个[latex]n \times m[/latex]的矩阵，记为[latex]\mathbf{A}^T[/latex]，其中的第[latex]i[/latex]个行矢量是原矩阵[latex]\mathbf{A}[/latex]的第[latex]i[/latex]个列矢量；或者说，[latex] (\mathbf{A}^T)_{i, j} = \mathbf{A}_{j, i} [/latex]。
运算律
矩阵的加法运算满足交换律：[latex]\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{B} + \mathbf{A}[/latex]
矩阵的转置和数乘运算对加法满足分配率：[latex] (\mathbf{A} + \mathbf{B})^T = \mathbf{A}^T + \mathbf{B}^T [/latex]；[latex] c(\mathbf{A} + \mathbf{B}) = c\mathbf{A} + c\mathbf{B} [/latex]
转置和数乘运算满足类似于结合律的规律：[latex] c(\mathbf{A}^T) = (c\mathbf{A}^T) [/latex]
矩阵乘法
两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵[latex]\mathbf{A}[/latex]的列数和另一个矩阵[latex]\mathbf{B}[/latex]的行数相等时才能定义。如[latex]\mathbf{A}[/latex]是[latex]m \times n[/latex]矩阵和[latex]\mathbf{B}[/latex]是[latex]n \times p[/latex]矩阵，它们的乘积[latex]\mathbf{AB}[/latex]是一个[latex]m \times p[/latex]矩阵，且
[latex display=”true”] (\mathbf{AB})_{i, j} = \sum_{r=1}^n \mathbf{A}_{i, r} \mathbf{B}_{r, j} [/latex]
运算律：
– 结合律：[latex] (\mathbf{AB})\mathbf{C} = \mathbf{A}(\mathbf{BC}) [/latex]
– 左分配律：[latex] (\mathbf{A} + \mathbf{B})\mathbf{C} = \mathbf{AC} + \mathbf{BC} [/latex]
– 右分配律：[latex] \mathbf{C}(\mathbf{A} + \mathbf{B}) = \mathbf{CA} + \mathbf{CB} [/latex]
– [latex] c(\mathbf{AB}) = (c\mathbf{A})\mathbf{B} = \mathbf{A}(c\mathbf{B}) [/latex]
– [latex] (\mathbf{AB})^T = \mathbf{B}^T\mathbf{A}^T [/latex]
– 不满足交换律。[latex]\mathbf{AB}[/latex]存在，[latex]\mathbf{BA}[/latex]不一定存在。即使存在，也可能[latex]\mathbf{AB} \neq \mathbf{BA}[/latex]。
单位矩阵（Identity matrix）
[latex]n[/latex]阶单位矩阵，是一个[latex]n \times n[/latex]的方形矩阵，其主对角线元素为1，其余元素为0，记作[latex]\mathbf{I}_n[/latex]或者[latex]\mathbf{E}_n[/latex]，阶数可以省略。
[latex display=”true”]\begin{aligned} \mathbf{I}_1 &= \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \\ \mathbf{I}_2 &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ \mathbf{I}_3 &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ \cdots \\ \mathbf{I}_n &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}[/latex]
行列式（Determinant）
记法：矩阵[latex]\mathbf{A}[/latex]的行列式可以记作[latex]|\mathbf{A}|[/latex]或[latex]\mathrm{det}(\mathbf{A})[/latex]。也可以直观地把矩阵的方括号换成垂直线表示。
直观定义：参见行列式 – 维基百科，自由的百科全书。
2阶矩阵的行列式：[latex]\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad – bc[/latex]
3阶矩阵的行列式：主对角线乘积之和减副对角线元素乘积之和
几何意义：行向量/列向量张成的体积/面积。
更多内容参见行列式 – 维基百科，自由的百科全书。
范德蒙矩阵（Vandermonde matrix）
范德蒙矩阵是一个各列呈现出几何级数关系的矩阵，例如
[latex display=”true”]\mathbf{V} = \begin{bmatrix} 1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_1^{n-1} \\ 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \cdots & \alpha_2^{n-1} \\ 1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \cdots & \alpha_3^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \cdots & \alpha_m^{n-1} \end{bmatrix}[/latex]
或者表达为[latex]\mathbf{V}_{i, j} = \alpha_i^{j-1}[/latex]。
[latex]n[/latex]阶范德蒙矩阵的行列式可以表示为：
[latex display=”true”]\mathrm{det}(\mathbf{V}) = \prod_{1 \leq i < j \leq n}(\alpha_j – \alpha_i)[/latex]
当[latex]\alpha_i[/latex]各不相同时，[latex]\mathrm{det}(\mathbf{V})[/latex]不为零。
