极限（Limit）

概念

c，L皆为实数，f: (- \infty, c - \delta) \cup (c + \delta, + \infty) \rightarrow \mathbb{R}，当x \rightarrow c时，f(x) \rightarrow L当且仅当：任一个\epsilon > 0，必存在一个\delta > 0，使得若0 < |x - c| < \delta，则|f(x) - L| < \epsilon。

通俗理解

当x趋向于某值L时，f(x)的值趋向于某值A。

表达

符号表达：\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = A
特殊记号：
x \rightarrow x_0^+：x从右侧趋向于x_0，x恒大于x_0。
x \rightarrow x_0^-：x从左侧趋向于x_0，x恒小于x_0。

四则运算

夹逼定理（Squeeze theorem）

设I为包含某点a的区间，f，g，h为定义在I上的函数。若对于所有属于I而不等于a的x，有：g(x) \leq f(x) \leq h(x)且\lim_{x \rightarrow a} g(x) = \lim_{x \rightarrow a} h(x) = L，则\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L。
其中，g(x)和h(x)分别称为f(x)的下界和上界。

连续函数（Continuous function）

对于定义域I中任意x_0，有\lim_{x \rightarrow x_0} = f(x_0)，则称f(x)是一个连续函数。
注：本定义不严谨，只用于说明极限可用于定义连续函数。严谨定义参见连续函数 – 维基百科，自由的百科全书。
函数的连续性与（处处）连续的函数并不相同。函数可以在一段区间内连续，也就是说，连续性是一个局部性质。
复合的连续函数也是连续的。初等函数是连续的。

常用的结论

等价无穷小（大）量

设f在区间I上有定义，x_0在I中，若\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = 0，则称f为当x \rightarrow x_0时的无穷小量。
设当x \rightarrow x_0时，f与g均为无穷小量，若\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1，则称f与g是当x \rightarrow x_0时的等价无穷小量，记作f(x) \sim g(x) \ (x \rightarrow x_0)。
类似地，等价无穷大量也可以如此定义。求极限时，可以利用它的性质进行代换。

高（低）阶无穷小量

对于两个无穷小量\alpha和\beta，如果\lim \frac{\alpha}{\beta} = 0，称\alpha为比\beta高阶的无穷小量，简称高阶无穷小量。类似地，\beta是\alpha的低阶无穷小。记作\alpha = o(\beta)。
通俗理解，在某一趋近过程中，\alpha \rightarrow 0比\beta \rightarrow 0快一些。

导数（Derivative）

概念

当函数f的自变量在一点x_0上产生一个增量h时，函数输出值的增量与自变量增量h的比值在h趋于0时的极限如果存在，即为f在x_0chu处的导数，记作f'(x_0)。
对于可导的函数f，x \mapsto f'(x)也是一个函数，称为f的导函数。
已知函数求导函数的过程为求导，已知导数求原函数的过程为不定积分。
对于连续函数图像，其一点处的导数即为图像在该点处切线的斜率。

运算与复合函数规律

初等函数的求导

1. 常函数：f(x) = c, f'(x) = 0
2. 多项式函数：f(x) = x^a \ (a \in \mathbb{Q}^*), f'(x) = ax^{a-1}
3. 三角函数：f(x) = \sin x, f'(x) = \cos x；f(x) = \cos x, f'(x) = - \sin x
4. 指数函数：f(x) = a^x, f'(x) = a^n \ln a；特例：f(x) = e^x, f'(x) = e^x
5. 对数函数：f(x) = \log_a x, f'(x) = \frac{1}{x \ln a}；特例：f(x) = \ln x, f'(x) = \frac{1}{x}

洛必达法则（L’Hospital’s rule）

x \rightarrow x_0, f(x), g(x) \rightarrow 0，且x \rightarrow x_0, \frac{f'(x)}{g'(x)} = A，则x \rightarrow x_0, \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x)}{g'(x)} = A。
注：严谨的表述见洛必达法则 – 维基百科，自由的百科全书。

偏导数（Partial derivative）

多元函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数，而保持其他变量恒定（当成常数处理）。
函数f关于变量x的偏导数记为\frac{\partial f}{\partial x}。

积分（Integral）

定积分

定积分的定义有很多种，这里给出一个直观的描述。
对于一个给定的实值函数f(x)，f(x)在一个实数区间[a, b]上的定积分\int_a^b f(x)\rm{d}x可以理解为在Oxy坐标平面上，曲线y=f(x)与x轴、直线x=a、直线x=b围成的有向面积。有向面积是指，x轴上方的面积为正，下方的面积为负。
注：定义参见积分 – 维基百科，自由的百科全书。

不定积分

f的不定积分（或称原函数）是任何满足其导函数是函数f的函数F。一个函数f的不定积分不是唯一的。
\int f(x)\mathrm{d}x = F(x) + C
其中f = F是f = f的不定积分。

微积分（第二）基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）

\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = F(b) - F(a)
其中，F'(x) = f(x)。
图形化的直观理解见下图。

（图片来自维基百科：微积分基本定理 – 维基百科，自由的百科全书）

常用结论

1. \int x^k \mathrm{d}x = \frac{1}{k+1} x^{k+1} + C
2. 分部积分法：\int f(x)g'(x)\mathrm{d}x = \int f(x)\mathrm{d}g(x) = f(x)g(x) - \int g(x)f'(x)\mathrm{d}x
3. \int e^x \mathrm{d}x = e^x + C
4. \int \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \ln |x| + C

贝塔函数（Beta function，第一类欧拉积分）

\mathrm{B}(x, y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\mathrm{d}t
性质：

1. 对称性：\mathrm{B}(x, y) = \mathrm{B}(y, x)
2. 与伽马函数之间的关系：\mathrm{B}(x, y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
3. 当x, y是正整数时，有\mathrm{B}(x, y) = \frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}

其他性质参见：Β函数 – 维基百科，自由的百科全书

伽马函数（Gamma function，第二类欧拉积分）

\Gamma(z) = \int_0^\infty \frac{t^{z-1}}{e^t} \mathrm{d}t
如果n为正整数，则
\Gamma(n) = (n-1)!
其他性质参见：Γ函数 – 维基百科，自由的百科全书

参考资料

• 函数极限 – 维基百科，自由的百科全书
• 夹挤定理 – 维基百科，自由的百科全书
• 连续函数 – 维基百科，自由的百科全书
• 高阶无穷小_百度百科
• 等价无穷小量_百度百科
• 无穷小量 – 维基百科，自由的百科全书
• 导数 – 维基百科，自由的百科全书
• 洛必达法则 – 维基百科，自由的百科全书
• 积分 – 维基百科，自由的百科全书
• 不定积分 – 维基百科，自由的百科全书
• 微积分基本定理 – 维基百科，自由的百科全书
• 分部积分法 – 维基百科，自由的百科全书
• Integration by parts – Wikipedia
• 偏导数 – 维基百科，自由的百科全书
• Β函数 – 维基百科，自由的百科全书
• Γ函数 – 维基百科，自由的百科全书