数学笔记：泰勒公式、泰勒级数、泰勒展开
别看这个标题上有三个名词，其实他们说的都是一个东西，就是下面的这个玩意：
泰勒定理（Taylor’s theorem）
设n是一个正整数。如果定义在一个包含a的区间上的函数f在a点处n+1次可导，那么对于这个区间上的任意x，都有：
[latex display=”true”]f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f”(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)[/latex]
其中的多项式称为函数在a处的泰勒展开式，剩余的[latex]R_n(x)[/latex]是泰勒公式的余项，是[latex] (x-a)^n [/latex]的高阶无穷小。
对于[latex]R_n(x)[/latex]这个东西，你可以理解为误差。
拉格朗日余项
[latex display=”true”]R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-\xi)^{n+1}[/latex]
泰勒公式（Taylor’s Formula）
泰勒公式是一个用函数在某点的信息来描述其在该点附近取值的公式。也就是说，是一个这个函数的多项式拟合式。函数的泰勒展开式由上面提到的泰勒定理而来，例如我们可以将[latex]e^x[/latex]在[latex]x=0[/latex]附近展开如下
[latex display=”true”]e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}[/latex]
很多时候我们可以用这个方法求一些函数的近似值，例如[latex]e^x, \cos, \sin, \ln[/latex]等。
常见的展开
[latex display=”true”]\begin{aligned} \sin x &= \frac{-x}{1} + \frac{x^3}{6} + \cdots + \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots \\ \cos x &= 1 + \frac{-x^2}{2} + \cdots + \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + \cdots \\ (1+x)^m &= \sum_0^{+\infty} \frac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{n!}x^n \\ \ln(1+x) &= \frac{x}{1} + \frac{-x^2}{2} + \cdots + \frac{(-1)^nx^{n+1}}{n+1} + \cdots \end{aligned}[/latex]
我们说的[latex]e^{ix} = \cos x + i \sin x[/latex]就是由上述结论定义而来的。其证明参见：欧拉公式 – 维基百科，自由的百科全书。
