题目地址：洛谷：【P2179】[NOI2012]骑行川藏 – 洛谷、BZOJ：Problem 2876. — [Noi2012]骑行川藏

题目描述

蛋蛋非常热衷于挑战自我，今年暑假他准备沿川藏线骑着自行车从成都前往拉萨。川藏线的沿途有着非常美丽的风景，但在这一路上也有着很多的艰难险阻，路况变化多端，而蛋蛋的体力十分有限，因此在每天的骑行前设定好目的地、同时合理分配好自己的体力是一件非常重要的事情。
由于蛋蛋装备了一辆非常好的自行车，因此在骑行过程中可以认为他仅在克服风阻做功（不受自行车本身摩擦力以及自行车与地面的摩擦力影响）。某一天他打算骑N段路，每一段内的路况可视为相同：对于第i段路，我们给出有关这段路况的3个参数 si , ki , vi’ ，其中 si 表示这段路的长度， ki 表示这段路的风阻系数， vi’ 表示这段路上的风速（表示在这段路上他遇到了顺风，反之则意味着他将受逆风影响）。若某一时刻在这段路上骑车速度为v，则他受到的风阻大小为 F = ki ( v – vi’ )^2（这样若在长度为s的路程内保持骑行速度v不变，则他消耗能量（做功）E = ki ( v – vi’ )^2 s）。
设蛋蛋在这天开始时的体能值是 Eu ，请帮助他设计一种行车方案，使他在有限的体力内用最短的时间到达目的地。请告诉他最短的时间T是多少。

输入输出格式

输入格式：
第一行包含一个正整数N和一个实数Eu，分别表示路段的数量以及蛋蛋的体能值。
接下来N行分别描述N个路段，每行有3个实数 si , ki , vi’ ，分别表示第 i 段路的长度，风阻系数以及风速。

输出格式：
输出一个实数T，表示蛋蛋到达目的地消耗的最短时间，要求至少保留到小数点后6位。

输入输出样例

输入样例#1：

3 10000
10000 10 5
20000 15 8
50000 5 6

输出样例#1：

12531.34496464

说明

【数据规模与约定】
对于10%的数据，N=1；
对于40%的数据，N<=2；
对于60%的数据，N<=100；
对于80%的数据，N<=1000；
对于所有数据，N <= 10000，0 <= Eu <= 108，0 < si <= 100000，0 < ki <= 1，-100 < vi’ < 100。数据保证最终的答案不会超过105。
【提示】
必然存在一种最优的体力方案满足：蛋蛋在每段路上都采用匀速骑行的方式。

题解

本题需要用到的数学姿势有：

1. 偏导数：数学笔记：极限、导数、积分 | KSkun’s Blog
2. 拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法及其应用 | KSkun’s Blog

其实这个题让我们求的就是[latex]f(v_1, v_2, \cdots, v_n) = \sum_{i=1}^n \frac{s_i}{v_i}[/latex]的最小值，且要求[latex]\sum_{i=1}^n (k_i (v_i – v’_i)^2 s_i) \leq E_u[/latex]。我们知道当不等式取等时肯定最优，则这个模型可以用拉格朗日乘数法求得极值。我们引入拉格朗日乘数[latex]\lambda[/latex]，构建拉格朗日函数[latex]\mathcal{L}(v_1, v_2, \cdots, v_n, \lambda) = \sum_{i=1}^n \frac{s_i}{v_i} + \lambda(\sum_{i=1}^n (k_i (v_i – v’_i)^2 s_i) – E_u)[/latex]。对这个函数求每一个未知数的偏导，最后得到的是方程组[latex]\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v_i} = – \frac{s_i}{v_i^2} + 2 \lambda k_i(v_i – v’_i)s_i = 0[/latex]，整理得[latex]2 \lambda k_i(v_i – v’_i)v_i^2 = 1[/latex]，观察得知这个式子左边的值关于[latex]v_i[/latex]递增，故对于一个固定的[latex]\lambda[/latex]可以二分求[latex]v_i[/latex]。二分求[latex]v_i[/latex]时，要考虑上下界的问题，上界可以任意，而下界要考虑，顺风的时候肯定是至少等于风速比较好，这样这一段做功就是0，而逆风的时候总不可能开倒车吧，因此只需要在风速和0之间取最大值即可。
下面考虑[latex]\lambda[/latex]怎么搞，我们发现随[latex]\lambda[/latex]增大，[latex]v_i[/latex]减小，能量消耗减小，方案就越可能可行，因此可以考虑二分求[latex]\lambda[/latex]。

代码

// Code by KSkun, 2018/3
#include <cstdio>

#include <algorithm>

const int MAXN = 10005;
const double EPS = 1e-12, INF = 1e9;

int n;
double eu, s[MAXN], k[MAXN], u[MAXN], v[MAXN];

inline double calv(double x, int y) {
    double l = std::max(0.0, u[y]), r = INF;
    while(r - l > EPS) {
        double mid = (l + r) / 2;
        if(2.0 * x * k[y] * mid * mid * (mid - u[y]) <= 1.0) l = mid; else r = mid;
    }
    return l;
}

bool check(double x) {
    double nowe = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        v[i] = calv(x, i);
        nowe += k[i] * s[i] * (v[i] - u[i]) * (v[i] - u[i]);
    }
    return nowe - eu > EPS;
}

int main() {
    scanf("%d%lf", &n, &eu);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%lf%lf%lf", &s[i], &k[i], &u[i]);
    }
    double l = 0, r = INF;
    while(r - l > EPS) {
        double mid = (l + r) / 2;
        if(check(mid)) l = mid; else r = mid;
    }
    double ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) ans += s[i] / v[i];
    printf("%.10lf\n", ans);
    return 0;
}