题目描述

本题中，我们将用符号 $\lfloor c \rfloor$ 表示对 c 向下取整，例如： $\lfloor 3.0 \rfloor = \lfloor 3.1 \rfloor = \lfloor 3.9 \rfloor = 3$。
蛐蛐国最近蚯蚓成灾了！隔壁跳蚤国的跳蚤也拿蚯蚓们没办法，蛐蛐国王只好去请神刀手来帮他们消灭蚯蚓。
蛐蛐国里现在共有 n 只蚯蚓（ n 为正整数）。每只蚯蚓拥有长度，我们设第 i 只蚯蚓的长度为 ai ( i = 1, 2, … , n )，并保证所有的长度都是非负整数（即：可能存在长度为0的蚯蚓）。
每一秒，神刀手会在所有的蚯蚓中，准确地找到最长的那一只（如有多个则任选一个）将其切成两半。神刀手切开蚯蚓的位置由常数 p （是满足 0 < p < 1 的有理数）决定，设这只蚯蚓长度为 x ，神刀手会将其切成两只长度分别为 $\lfloor px \rfloor$ 和 $\lfloor x – px \rfloor$ 的蚯蚓。特殊地，如果这两个数的其中一个等于 0 ，则这个长度为 0 的蚯蚓也会被保留。此外，除了刚刚产生的两只新蚯蚓，其余蚯蚓的长度都会增加 q（是一个非负整常数）。
蛐蛐国王知道这样不是长久之计，因为蚯蚓不仅会越来越多，还会越来越长。蛐蛐国王决定求助于一位有着洪荒之力的神秘人物，但是救兵还需要 m 秒才能到来……（m 为非负整数）蛐蛐国王希望知道这 m 秒内的战况。
具体来说，他希望知道：

m 秒内，每一秒被切断的蚯蚓被切断前的长度（有 m 个数）；
m 秒后，所有蚯蚓的长度（有 n + m 个数）。

蛐蛐国王当然知道怎么做啦! 但是他想考考你……

输入输出格式

输入格式：
第一行包含六个整数 n, m, q, u, v, t ，其中： n, m, q 的意义见【问题描述】； u, v, t 均为正整数；你需要自己计算 p = u/v （保证 0 < u < v ）；t 是输出参数，其含义将会在【输出格式】中解释。
第二行包含 n 个非负整数，为 a1, a2, … , an ，即初始时 n 只蚯蚓的长度。
同一行中相邻的两个数之间，恰好用一个空格隔开。
保证 1 ≤ n ≤ 10^5 ， 0 ≤ m ≤ 7 × 10^6 ， 0 < u < v ≤ 10^9 ， 0 ≤ q ≤ 200 ， 1 ≤ t ≤ 71 ，
0 ≤ ai ≤ 10^8 。

输出格式：
第一行输出$\left\lfloor \frac{m}{t} \right\rfloor$个整数，按时间顺序，依次输出第 t秒，第 2t 秒，第 3t 秒，……被切断蚯蚓（在被切断前）的长度。
第二行输出$\left\lfloor \frac{n+m}{t} \right\rfloor$个整数，输出 m 秒后蚯蚓的长度：需要按从大到小的顺序，依次输出排名第 t ，第 2t ，第 3t ，……的长度。
同一行中相邻的两个数之间，恰好用一个空格隔开。即使某一行没有任何数需要输出，你也应输出一个空行。
请阅读样例来更好地理解这个格式。

输入输出样例

输入样例#1：

3 7 1 1 3 1
3 3 2

输出样例#1：

3 4 4 4 5 5 6
6 6 6 5 5 4 4 3 2 2

输入样例#2：

3 7 1 1 3 2
3 3 2

输出样例#2：

4 4 5
6 5 4 3 2

输入样例#3：

3 7 1 1 3 9
3 3 2

输出样例#3：

说明

题解

很容易想到用三个堆来维护原来的蚯蚓、切后的两段蚯蚓，通过一定的修正将堆内的各个元素统一至某一时间点（如，最开始的长度），便于堆内元素值的比较。可以用当前值-当前秒数作为修正值。
在这种做法的基础上，我们观察到，由于每次都是取最大的来切，切后的两段蚯蚓分别对应的两个序列内部实际上有随时间递增而不减的单调性。我们直接将堆换为队列即可得到本题的正解。
正解复杂度$O(m)$。

代码

// Code by KSkun, 2018/11
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cmath>

#include <algorithm>
#include <functional>
#include <vector>

typedef long long LL;

inline char fgc() {
    static char buf[100000], *p1 = buf, *p2 = buf;
    return p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 100000, stdin), p1 == p2)
        ? EOF : *p1++;
}

inline LL readint() {
    register LL res = 0, neg = 1; register char c = fgc();
    for(; !isdigit(c); c = fgc()) if(c == '-') neg = -1;
    for(; isdigit(c); c = fgc()) res = res * 10 + c - '0';
    return res * neg;
}

inline char readsingle() {
    register char c;
    while(!isgraph(c = fgc())) {}
    return c;
}

const int MAXN = 100005, MAXM = 7000005;

int n, m, q, u, v, t, a[MAXN];
double p;
std::vector<int> vec;

struct Queue {
    int l, r, a[MAXM];
    Queue(): l(1), r(1) {}
    inline void push(int x) {
        a[r++] = x;
    }
    inline void pop() {
        if(l >= r) return; l++;
    }
    inline int query(int p, int t) {
        if(l >= r) return -1;
        return a[l] + (p - 1) * q * (1 - t) + (p - l - 1) * q * t;
    }
    inline bool empty() {
        return l >= r;
    }
} que[3];

inline void query(int x, int &res, int &t) {
    int r1 = que[0].empty() ? -1 : que[0].query(x, 0),
        r2 = que[1].empty() ? -1 : que[1].query(x, 1),
        r3 = que[2].empty() ? -1 : que[2].query(x, 1);
    if(r1 > res) { 
        res = r1; t = 0;
    }
    if(r2 > res) {
        res = r2; t = 1;
    }
    if(r3 > res) {
        res = r3; t = 2;
    }
}

int main() {
    n = readint(); m = readint(); q = readint();
    u = readint(); v = readint(); t = readint();
    p = double(u) / v;
    for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = readint();
    std::sort(a + 1, a + n + 1, std::greater<int>());
    for(int i = 1; i <= n; i++) que[0].push(a[i]);
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        int res = -1, t = -1;
        query(i, res, t);
        if(i % ::t == 0) printf("%d ", res);
        que[t].pop();
        que[1].push(floor(p * res));
        que[2].push(res - floor(p * res));
    }
    puts("");
    while(!que[0].empty()) {
        vec.push_back(que[0].query(m + 1, 0));
        que[0].pop();
    }
    while(!que[1].empty()) {
        vec.push_back(que[1].query(m + 1, 1));
        que[1].pop();
    }
    while(!que[2].empty()) {
        vec.push_back(que[2].query(m + 1, 1));
        que[2].pop();
    }
    std::sort(vec.begin(), vec.end(), std::greater<int>());
    for(int i = 0; i < vec.size(); i++) {
        if((i + 1) % t == 0) printf("%d ", vec[i]);
    }
    return 0;
}

NOIP, 题解, 算法

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2018年10月8日

【物理】多物体系统的分离问题

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物理, 高中/高考

by KSkun

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2018年10月6日

【化学】固定模式答法合集

由于博主高考完了，本文不再更新。

必修1

化学实验

如图装置的作用是：安全瓶，防止倒吸。
选择微型实验装置的优点有：简化实验装置，节约成本；试剂用量少，能源消耗少；节省空间，缩短实验时间；减少污染等。
溶质A和溶质B在温度升高时呈现不同的变化趋势时，得到纯净的溶解度较低的溶质的方法是：蒸发浓缩，趁热过滤，洗涤，干燥。
加沉淀剂过程中，证明沉淀生成完全的操作：将溶液静置一段时间，向上层清液中继续滴加沉淀剂，没有沉淀生成，证明沉淀完全。
洗涤沉淀时，选用冷水/有机溶剂洗涤的原因是：降低沉淀的溶解度，减少溶解损失。
气密性检验答题思路：①封闭体系；②形成气压差；③得出结论。
溶解/浸取矿石等固体物时，将其磨碎的目的是：增大反应物的接触面积，加快反应速率，提高原料利用率/浸出率/转化率。
水浴加热的目的是：受热均匀，防止温度过高使产物分解。
如图是利用CH₄还原NO₂的装置的一部分，该装置的作用是：可以通过观察气泡调节两种气体的流量；使CH₄和NO₂充分混合。
在硬质玻璃管（气体反应装置）中填充玻璃丝的作用是：延缓气体在反应管中的停留时间。
蒸发结晶时，不直接蒸干溶液的理由是：减少产物中杂质的析出。
如图的这个玩意叫恒压分液漏斗或恒压滴液漏斗。
尾气吸收装置倒扣漏斗的作用是防止倒吸。
一般普通托盘天平的精度为0.1g或0.2g，分析天平/电子天平为0.0001g或类似数量级的其他精度，因此当超出托盘天平的称量范围时，应当使用分析天平/电子天平。
减压抽滤装置的主要仪器有：布氏漏斗、吸滤瓶、抽气泵。
滴定前润洗滴定管的操作方法是：从滴定管上口加入少量待装液，倾斜着转动滴定管，使液体润湿内壁，然后从下部方式，重复2~3次。
具有强氧化性的溶液（如高锰酸钾、重铬酸钾、高铁酸钾等）需要用酸式滴定管盛装，因为碱式滴定管所用的橡胶管易被氧化而老化。
使用分液漏斗进行萃取分液的操作为：向分液漏斗中加入溶液与萃取剂，振荡，将分液漏斗下口向上倾斜，打开活塞放出气体，静置，分液。
实验室中用pH试纸测定溶液pH的方法是：将pH试纸放在干燥洁净的玻璃片上，用玻璃棒蘸取溶液滴在pH试纸上，变色后与标准比色卡比较。

化学物质及变化

静电除尘利用了胶体的电泳性质。
使胶体粒子聚沉的方法：1.加热或搅拌 2.加入电解质 3.加入带相反电荷的粒子
扩展：①胶体粒子带电，但胶体呈电中性。 ②只有以上三种方法才能使胶体粒子聚沉，其他方法不是聚沉。
工业生产中采用对空气加压的方法提高MnO₂利用率，使用碰撞理论解释其原因：加压增大了氧气浓度，使单位体积内的活化分子数增加，有效碰撞次数增多，反应速率加快，使MnO₂反应更充分。
滴水石穿涉及的化学反应：$\mathrm{CaCO_3 + CO_2 + H_2O = Ca(HCO_3)_2 }$

金属元素

实验室取用金属Na的方法：用镊子取出煤油中的钠，用滤纸吸干表面的煤油，用小刀切下所需的钠，余下的放回试剂瓶中。
进行H₂还原CuO的实验时，通入一段时间的H₂后不能马上加热，应先检验氢气的纯度，因为加热不纯氢气和空气的混合物时容易引发爆炸。
检验Fe粉中是否含有FeO的方法：考虑到Fe直接溶解于酸时也会产生Fe²⁺干扰FeO的检验，我们先让固体与CuSO₄溶液完全反应，然后再将过滤得到的滤渣溶解于酸检验Fe²⁺是否存在即可。
CaSO₃水悬浮液中加入Na₂SO₄溶液能提高NO₂的吸收速率，其主要原因是：CaSO₃转化为CaSO₄使溶液中SO₃^2-的浓度增大，加快SO₃^2-与NO₂的反应速率。
久存的银制品表面会发黑，失去银白色光泽，原因是：银与空气中的氧及含硫化合物反应生成黑色硫化银，致使久存的银制品表面发黑。
用硫酸亚铁晶体配制FeSO₄溶液时还需加入稀硫酸和铁屑。

非金属元素

侯氏制碱法先通入NH₃，再通入CO₂的原因是：NH₃在水中的溶解度大，CO₂在水中的溶解度较小，先通NH₃可增大CO₂的溶解度，产生更多HCO₃^–。
侯氏制碱法的母液（过滤走NaHCO₃的滤液）中仍有大量原料，可以向母液中通入NH₃，再加入细小的食盐颗粒并降温，可得到NH₄Cl晶体，剩下的母液循环使用，大大提高了原料的利用率，通入氨气的目的是：氨气溶于水后产生NH₄⁺和OH^–，可增大NH₄⁺的浓度，有利于NH₄Cl析出，溶液碱性增强，NaHCO₃转化为Na₂CO₃而不析出，可提高氯化铵的纯度。
HCl的实验室制法：浓硫酸与NaCl晶体共热，$\mathrm{H_2SO_4(浓) + NaCl(s) \triangleq HCl \uparrow + NaHSO_4}$。
证明某酸是n元酸的方法：用等浓度的NaOH溶液（或其他一元强碱溶液）滴定该酸，若消耗的NaOH溶液体积是该酸溶液体积的n倍，则该酸为n元酸。
在有氧条件下，新型催化剂M能催化NO_x与NH₃反应生成N₂。在50~250℃范围内随着温度的升高，NO_x的去除率先迅速上升后上升缓慢的主要原因是：迅速上升段是催化剂活性随温度升高增大与温度升高共同使NO_x去除反应速率迅速增大；上升缓慢段主要是温度升高引起的NO_x去除反应速率增大。
黑火药点燃时发生的反应为：$\mathrm{2KNO_3 + S + 3C \triangleq K_2S + N_2 \uparrow + 3CO_2 \uparrow}$，氧化剂为硝酸钾，还原剂为单质硫和碳，利用了单质S的还原性。
高温体系中C存在时CO₂不能作为反应产物，因为会被C还原而变成CO。
高温体系中SiO₂与CaO等碱性氧化物不能共存，因此在玻璃反应容器中不能加热进行可能生成碱性氧化物的反应，或者SiO₂参与的反应产物中无碱性氧化物而是硅酸盐。

必修2

物质结构、元素周期律

主族元素不包括0族元素（稀有气体元素），副族元素不包括Ⅷ族元素（过渡元素包含Ⅷ族元素）。

化学反应与能量

验证物质在化学反应中是否为催化剂的方法：①验证是否改变反应速率；②验证反应前后质量和性质是否改变。
滴定管润洗后，润洗液从滴定管下口倒出。
中和热的测定实验中，需要多次测量温度，为避免实验误差，应当使用同一温度计，使用温度计前要先冲洗干净。

有机化合物

加酶洗衣粉不可以洗涤毛织品，因为酶会水解蛋白质导致衣物损坏。
烹鱼时加入料酒可去腥提香的原理：鱼体中的腥味物质主要是三甲胺等，能溶解在乙醇中，在加入烹饪料酒时，其腥味随着酒精挥发而被带走，料酒中含有的小分子酯本身具有香味，烹饪过程中乙醇和乙酸可能发生酯化反应生成乙酸乙酯具有香味，所以烹鱼时加入料酒可去腥提香。
制乙酸乙酯时加入数滴浓硫酸即能起催化作用，但实际用量多余此量，原因是：浓硫酸能吸收生成的水，使平衡向生成酯的方向移动，提高酯的产率。
常见有机反应整理：
- 碳碳双键、三键、醛或酚类物质可以使溴水褪色。
- 碳碳双键、三键、苯的同系物、酚类、醇及醛类可以使酸性高锰酸钾溶液褪色。
- 醛基能发生银镜反应或与新制氢氧化铜煮沸后生成砖红色沉淀。
- 含羟基、羧基可与钠反应生成氢气。
- 含酚羟基、羧基可与氢氧化钠、碳酸钠反应。
- 含羧基可与碳酸钠、碳酸氢钠反应。
- 酚羟基可与氯化铁溶液发生显色反应。
- 酯可以水解产生醇和羧酸。
- 醇或卤代烃可以发生消去反应。
- 醇、醛、羧酸可以发生两步氧化。
- 与卤素单质，在光照条件下：烷烃、不饱和烃或芳香烃中烷基上的卤代反应。
- 与液溴、铁粉：苯环上的取代（溴代）反应。
- 与浓溴水：苯酚的取代反应。
- 与氢气，在催化剂（镍）条件下：不饱和有机物的加成反应（含碳碳双键、三键、苯环、醛基、羰基的物质，羧基和酯基不能加成）。
- 在浓硫酸、加热条件下：酯化反应或苯环上硝化、磺化反应。
- 在浓硫酸、170℃条件下：醇的消去反应。
- 在浓硫酸、140℃条件下：醇生成醚的取代反应。
- 在稀硫酸、加热条件下：酯的可逆水解或二糖、多糖的水解反应。
- 与氢氧化钠溶液，在加热条件下：卤代烃或酯类的水解反应。
- 与氢氧化钠醇溶液，在加热条件下：卤代烃的消去反应。
- 与铁、盐酸：硝基还原为氨基。
- 与氧气，在铜或银、加热条件下：醇的催化氧化。
- 与银氨溶液或新制氢氧化铜：醛的氧化。
- 在水浴加热条件下：苯的硝化、银镜反应、制酚醛树脂、酯类和二糖的水解。

化学与自然资源的开发利用

无机非金属材料整理：
资料来源：[图文]高中化学材料专题复习 – 百度文库
1. 普通玻璃（钠玻璃）
  成分：CaSiO₃、NaSiO₃、SiO₂
  原材料：纯碱、石灰石、石英
2. 钢化玻璃
3. 水泥
  成分：3CaO·SiO₂、2CaO·SiO₂、3CaO·Al₂O₃
  原材料：石灰石、黏土
4. 陶瓷
  原材料：黏土、天然矿物等

选修3

原子结构与性质

H的电负性达到了2.1，大于B的电负性（2.0）。
短周期中原子核外p轨道上电子数与s轨道上电子总数相等的元素是O、Mg。
碳在形成化合物时，其键型以共价键为主，原因是：C有4个价电子且半径小，难以通过得失电子达到稳定电子结构。
金属Fe具有导电性，温度越高其导电性越差，其原因是：温度升高，自由电子间碰撞加剧，导致自由电子的定向移动能力变弱，导电性减小。

分子结构与性质

NH₃极易溶于水的原因为：①NH₃和H₂O分子都是极性分子，根据相似相溶原理；②NH₃和H₂O分子间形成氢键；③NH₃部分与水反应生成NH₃·H₂O。
Cl^–可以促进金属的氧化腐蚀或与酸的反应，原理是Cl^–易与金属形成配合物促进反应。
ZnF₂不溶于有机溶剂而ZnCl₂、ZnBr₂、ZnI₂能够溶于乙醇、乙醚等有机溶剂，原因是：ZnF₂为离子化合物，ZnCl₂、ZnBr₂、ZnI₂的化学键以共价键为主，极性较小。
Ge与C是同族元素，C原子之间可以形成双键、三键，但Ge原子之间难以形成双键或三键。从原子结构角度分析，原因是：双键中含有1个π键，三键中含有2个π键，而Ge原子半径大，原子间形成的σ单键较长，p-p轨道肩并肩重叠程度很小或几乎不能重叠，难以形成π键。
AsH₃分子是三角锥形，键角为91.80°，小于氨分子的键角（107°），AsH₃分子键角较小的原因是：砷原子电负性小于氮原子，其共用电子对离砷核距离较远，斥力较小，键角较小。
CO作为配位体是以C原子作为配位原子，因为C原子半径较大，更易失去孤电子对。
氢化物或氢化离子写等电子体时氢原子的数量不可变化，一般改变负价原子，这是因为等电子体要求原子数必须相同。
在必修教材（必修2）问题中涉及共价键分类的问题，从极性与非极性角度作答；在选修教材（选修3）中从σ键或π键角度作答。
叠氮离子（N₃^–）的立体构型是直线型，中心N原子杂化类型是sp杂化，其结构如下：
PCl₃的键角小于PCl₄⁺键角的原因为：PCl₃和PCl₄⁺中磷原子的杂化方式均为sp³杂化，PCl₃中磷原子有一对孤对电子，PCl₄⁺中磷原子无孤对电子，孤对电子对成键电子对的斥力大于成键电子对之间的排斥力。
H₃PO₃和H₃PO₄第一步电离程度大于第二步的原因：第一步电离后生成的负离子较难再进一步电离出带正电荷的氢离子。
H₃PO₄比H₃PO₃酸性强的原因：H₃PO₃和H₃PO₄可表示为(HO)₂PHO和(HO)₃PO。H₃PO₃中P为+3价，而H₃PO₄中的点P为+5价，正电性更高，导致P—O—H中O的电子更向P偏移，越易电离出H⁺。
“分子金属”是一种由铂的配合物平面分子进行层状堆砌而形成的结构，其中，铂与周围的4个硫形成了4个共价键，铂原子是否以sp³的方式杂化？简述理由：不是。若铂原子轨道为sp³杂化，则该分子结构为四面体，非平面结构。
测得C₁₆S₈中碳硫键的键长介于C—S和C═S键之间，其原因可能是：C₁₆S₈分子中碳硫键具有一定程度的双键性质；C₁₆S₈分子中存在离域大π键。
NH₃易与Cu²⁺反应，而NF₃却不能，其原因是：F元素的电负性强于N元素，NF₃中N—F成键电子对偏向F原子，N原子上的孤电子对难与铜离子形成配位键。
铵盐大多不稳定，NH₄F和NH₄I中，较易分解的是NH₄F，原因是：F原子半径比I原子小，H—F键比H—I键强。

晶体结构与性质

SiX₄（X为卤素）的沸点依F、Cl、Br、I的次序升高的原因是：①SiX₄是分子晶体，且组成结构相似；②相对分子质量依次增大，分子间范德华力增大，因此沸点升高。
H₂O的液体密度比其固态的大，原因是：水结冰由于氢键的方向性，使分子排列更加有序，分子间隙增大，故水的密度比冰大。
判断晶体和非晶体最可靠的方法是：X射线衍射实验。
在晶胞中见到了C₆₀时，写分子式需要将其视作一个整体，C的个数需为60的整数倍以表达C₆₀是一个整体。
随着阳离子半径的增大，碳酸盐的分解温度逐步升高，原因是：碳酸盐分解过程实际是晶体中阳离子结合碳酸根离子中的氧离子，使碳酸根离子分解为二氧化碳的过程，阳离子所带电荷相同时，阳离子半径越小，金属氧化物的晶格能越大，对应的碳酸盐就越容易分解。
金刚石和石墨的物理性质差异很大，其中熔点较高的是石墨，从结构分析：石墨为混合型晶体，金刚石为原子晶体，二者熔点均取决于碳碳共价键，前者键长短，则熔点高；硬度大的是金刚石，其结构原因是：石墨硬度取决于分子间作用力，而金刚石取决于碳碳共价键。

选修4

化学反应与能量

化学反应速率和化学平衡

绝热恒容容器中压强不再变化可以证明反应已达到平衡，因为化学反应总伴随着热效应，使得容器体系温度改变，导致气体压强改变。
两个反应在相同情况下反应速率有差别，可供考虑的角度有：反应物浓度不同、反应物溶解度不同（在溶液中发生的反应）、活化能不同等。
常见的能提高反应速率的方法有：提高反应物浓度（增加反应物的量或压缩体积）、提高温度、改进催化剂等。

水溶液中的离子平衡

电解池阴极反应为2H⁺+2e^–=H₂↑，Fe³⁺可在阴极区沉淀完全，从其对水的电离平衡影响角度解释其原因：水中的H⁺在阴极区放电，H⁺浓度减小促使水的电离平衡H₂O$\rightleftharpoons$H⁺+OH^–正向移动，阴极区OH^–浓度增大与Fe³⁺结合而沉淀完全。
不氧化Fe²⁺而使Zn²⁺沉淀的后果是Zn²⁺和Fe²⁺分离不开，原因是：Zn²⁺和Fe²⁺的K_sp相近。（注：$K_{\mathrm{sp}}\mathrm{[Zn(OH)_2]} = 10^{-17}$，$K_{\mathrm{sp}}\mathrm{[Fe(OH)_2]} = 10^{-17}$）

电化学基础

钛的冶炼新法是剑桥电解法。以含少量CaCl₂的CaO熔融物作为介质，电解时在阴极生成的Ca进一步还原TiO₂得钛。利用中学所学知识可以预测CaCl₂的作用包含：增强导电性、降低CaO的熔点。
电解时电压过高会导致阴极还原产物产率降低，可能的原因是：H⁺参与了电极反应。（阳极产物也可用类似的思路解答）
离子交换膜的作用有：①能得到纯度更高的电解产物；②避免不同电极上生成的气体相互反应。

化学, 高中/高考

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2018年9月30日

【生物】固定模式答法合集

由于博主高&#327 …

高中/高考, 生物

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2018年9月26日

[NOIP2017普及]跳房子题解

题目地址：&#279 …

NOIP, 题解, 算法

by KSkun

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2018年8月31日

【物理】千变万化的直线运动图像

概述

我们在做运动学图像题的时候总是会面临一些非传统的运动学图像，在这篇文章中，我将归总我遇到过的有趣的创新图像题以及分析方法。

模型与例题

$a-x$图像或$x-a$图像

例题

（多选）放在水平面上的物体，在水平力$F$作用下开始运动，以物体静止时的位置为坐标原点，力$F$的方向为正方向建立$x$轴，物体的加速度随位移的变化图像如图所示。下列说法中错误的是

A. 位移为$x_1$时，物体的速度大小为$\sqrt{2a_0x_1}$
B. 位移为$x_2$时，物体的速度达到最大
C. 物体的最大速度为$\sqrt{a_0(x_2+x_3)}$
D. $0 \sim x_2$过程中物体做匀加速直线运动，$x_2 \sim x_3$过程中物体做匀减速直线运动

题目来源：放在水平面上的物体，在水平力F作用下开始运动，以物体静止时的位置为坐标原点，力F的方向为正方向建立x轴，物体的加速度随位移的变化图像如图所示… 满分5满分网

【解析】

本题给了一个$a-x$图像。我们注意到，在$x_2 \sim x_3$段的图像是一条直线，这是随时间增大均匀减小的加速度吗？显然不是。

在与计算无关的情况下，我们可以认为$x$轴就是原来$a-t$图像的$t$轴，只是这根轴上的数值分布不均匀。用这种方法可以定性分析运动的相关情况。我们发现，在整个运动中物体都在加速。
在需要计算的情况下，我们显然无法使用观察图像的方法获得速度的变化量。对于这个图像，我们能使用的公式只有$v_t^2 – v_0^2 = 2ax$这一个了。然而用好它也能解决很多问题。

接下来我们逐选项地分析题目。
A项，在$x_1$处使用公式$v_1^2 – 0 = 2a_0x_1$，即可求出$v_1=\sqrt{2a_0x_1}$，本项是正确的。
B项，由于全段都在加速，$x_3$才是速度达到最大的时候的位移值。
C项，最大速度显然要计算$x_3$处的速度$v_3$，但是问题来了，这是一个变加速直线运动，我们无法利用传统方法求解了，还有什么其他的办法呢？观察公式$v^2=2ax$，$ax$不就是图形的面积吗？我们可以求出图形的面积为$S=\frac12(x_2+x_3)a_0$，代入上面的公式，得到了我们要求的速度$v_3^2=(x_2+x_3)a_0$，即$v_3=\sqrt{(x_2+x_3)a_0}$。
D项，$x_2 \sim x_3$段加速度恒为正，物体在做匀加速运动。
最后还有一个坑，题目要求选出错误的，因此应该选择BD两项。

本题解决非传统问题的方法是，通过公式得到非传统图像的面积意义，从而解决非传统问题。看来，对于图像与公式的意义把握是解决问题的重要手段。

$v-x$图像或$x-v$图像

例题

（多选）甲、乙两质点在同一时刻、同一地点沿同一方向做直线运动。质点甲做初速度为零，加速度大小为$a_1$的匀加速直线运动。质点乙做初速度为$v_0$，加速度大小为$a_2$的匀减速直线运动至速度减为零保持静止。甲、乙两质点在运动过程中的$x-v$（位置速度）图象如图所示（虚线与对应的坐标轴垂直）。则

A. 在$x-v$图象中，图线$a$表示质点甲的运动，质点乙的初速度$v_0=6 \ \mathrm{m/s}$
B. 质点乙的加速度大小$a_2=2 \ \mathrm{m/s^2}$
C. 质点甲的加速度大小$a_1=2 \ \mathrm{m/s^2}$
D. 图线$a$、$b$的交点表示两质点同时到达同一位置

题目来源：【甲、乙两质点在同一时刻、同一地点沿同一方向做直线运动．质点甲做初速度为零，加速度大小为a1的匀加速直线运动．质点乙做初速度为v0，加速度大小为a2的匀减速直线运动至速度减为零】作业帮

【解析】

这又是一个不按套路来的题目，我们习惯了看$x-t$图像以后看这个怎么看怎么不舒服，于是就容易做错。不过由于可以通过图像推导出一些常规结论，相比需要利用图形面积意义的题目还是要简单些。

A项，容易知两物体都是从$x=0$位置开始运动，由于乙有初速度，因此乙对应图线$b$，甲对应$a$。查起始位置处速度得知$v_{0}=6 \ \mathrm{m/s}$。
B项与C项，这样的图线应当如何计算加速度成为了一个问题。计算的困难来自于图形的关键点都只给了半边信息，有横坐标信息的关键点没给纵坐标，有纵坐标的没给横坐标，不过不要虚，要相信题是能做出来的，我们按部就班地来准备方程：
不妨关注共速的位置，假设二者共同速度为$v$：
对甲：
$$ v^2 = 2a_1x \tag{1}$$
对乙：
$$ v_0^2 – v^2 = 2a_2x \tag{2} $$
联立(1)式和(2)式，得到$a_1+a_2=3 \ \mathrm{m/s^2} \tag{*1}$
我们再取一个共位移的位置，此时$v_1=8 \ \mathrm{m/s}$，$v_2=2 \ \mathrm{m/s}$，假设二者位移都是$x$：
对甲：
$$ v_1^2 = 2a_1x \tag{3} $$
对乙：
$$ v_0^2 – v_2^2 = 2a_2x \tag{4} $$
联立(3)和(4)，得到$a_1=2a_2 \tag{*2}$
到此为止，我们已经可以通过(*1)和(*2)得到答案为$a_1=2 \ \mathrm{m/s^2}, a_2=1 \ \mathrm{m/s^2}$。从而判断C正确，B错误。
对于D项，交点表示两物体的速度相同且位移相同的一个状态，但是不一定要同时达到，基于数据的分析也可以证明确实不是同时达到的。

我们可以发现，给半边条件也是有用的，因为有两个物体，每个物体列出一个式子，设一个未知数，就可以在两个式子间消元获得足够的信息了。

假设运动法

例题

研究人员测得飞机着陆后若不制动在平直跑道上滑行的总距离为$x$，所用的时间为$t$。考虑到飞机的滑行速度越小，所受的阻力越小，则飞机着陆时的速度应为
A. $v < \frac{x}{t}$
B. $\frac{x}{t} < v < \frac{2x}{t}$
C. $v = \frac{2x}{t}$
D. $v > \frac{2x}{t}$

题目来源：《高考小题练透物理》（67高考，外研社）、【某同学欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为x，从着陆到停下来所用的时间为t，实际上，飞机的速度越大，所受的阻力越大，即加】作业帮

【解析】

由于阻力随滑行速度减小而减小，减速的加速度大小是在减小的，因此$v-t$图像看上去应该是下凸的，这就给我们估计$t=0$时的速度带来了麻烦，毕竟我们并不知道它和平均速度的关系。

为了解决这个问题，我们不妨假设一个在$t$时间内的匀减速运动，并把图像和题目中这个运动的图像做到一起，观察我们将得到什么。

这个匀减速运动的平均速度显然是$\frac{v}{2}$，而题目中这个运动的位移是小于匀减速运动的，因此平均速度也要小于匀减速的，即$\frac{x}{t} < \frac{v}{2}$，便推知了$v > \frac{2x}{t}$这一结论。

有的运动我们并不熟悉，也不好用已有的运动学手段甚至是数学手段来处理它的（图像）问题，我们可以利用与上面类似的“假设”思想发现新的突破口。

物理, 高中/高考

by KSkun

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2018年7月25日

[HNOI2013]游走题解

题目地址：&#279 …

题解, 算法, 省选

by KSkun

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必修1

化学实验

化学物质及变化

金属元素

非金属元素

必修2

物质结构、元素周期律

化学反应与能量

有机化合物

化学与自然资源的开发利用

选修3

原子结构与性质

分子结构与性质

晶体结构与性质

选修4

化学反应与能量

化学反应速率和化学平衡

水溶液中的离子平衡

电化学基础

概述

模型与例题

$a-x$图像或$x-a$图像

例题

$v-x$图像或$x-v$图像

例题

假设运动法

例题