题目地址：洛谷：【P1552】[APIO2012]派遣 – 洛谷、BZOJ：Problem 2809. — [Apio2012]dispatching

题目背景

在一个忍者的帮派里，一些忍者们被选中派遣给顾客，然后依据自己的工作获取报偿。

题目描述

在这个帮派里，有一名忍者被称之为Master。除了Master以外，每名忍者都有且仅有一个上级。为保密，同时增强忍者们的领导力，所有与他们工作相关的指令总是由上级发送给他的直接下属，而不允许通过其他的方式发送。
现在你要招募一批忍者，并把它们派遣给顾客。你需要为每个被派遣的忍者支付一定的薪水，同时使得支付的薪水总额不超过你的预算。另外，为了发送指令，你需要选择一名忍者作为管理者，要求这个管理者可以向所有被派遣的忍者发送指令，在发送指令时，任何忍者（不管是否被派遣）都可以作为消息的传递人。管理者自己可以被派遣，也可以不被派遣。当然，如果管理者没有被排遣，你就不需要支付管理者的薪水。
你的目标是在预算内使顾客的满意度最大。这里定义顾客的满意度为派遣的忍者总数乘以管理者的领导力水平，其中每个忍者的领导力水平也是一定的。
写一个程序，给定每一个忍者i的上级Bi，薪水Ci，领导力Li，以及支付给忍者们的薪水总预算M，输出在预算内满足上述要求时顾客满意度的最大值。

输入输出格式

输入格式：
第一行包含两个整数N和M，其中N表示忍者的个数，M表示薪水的总预算。
接下来N行描述忍者们的上级、薪水以及领导力。其中的第i行包含三个整数Bi,Ci,Li分别表示第i个忍者的上级，薪水以及领导力。Master满足Bi=0，并且每一个忍者的老板的编号一定小于自己的编号Bi < i。
输出格式：
输出一个数，表示在预算内顾客的满意度的最大值。

输入输出样例

输入样例#1：

5 4
0 3 3
1 3 5
2 2 2
1 2 4
2 3 1

输出样例#1：

6

说明

1 ≤ N ≤ 100,000 忍者的个数；
1 ≤ M ≤ 1,000,000,000 薪水总预算；
0 ≤ Bi < i 忍者的上级的编号；
1 ≤ Ci ≤ M 忍者的薪水；
1 ≤ Li ≤ 1,000,000,000 忍者的领导力水平。
对于 30%的数据，N ≤ 3000。

题解

这个题可以用左偏树水过。
我们容易想到一个节点的答案可以贪心算出，即是从其子树中选出尽可能多的点并且使点权和不大于M，这个只要尽量选权值小的就好了。每处理到一个节点，维护包含它本身和它的子树的一个大根堆，然后统计子树权值和，大根堆删根减权值和直到它不大于M，计算还剩下多少节点，乘上L就是这个节点的答案。可以通过一个DFS来更新答案。
至于为什么不是小根堆拿出根来，因为这样的话合并到父亲的时候还要把点重新插回去，如果是大根堆，删掉的就不用插回去了，因为插回去将来也肯定不会被选上。

代码

// Code by KSkun, 2018/2 
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
typedef long long LL;

struct io {
    char buf[1 << 26], *op;
    io() {
        fread(op = buf, 1, 1 << 26, stdin);
    }
    inline LL readint() {
        register LL res = 0;
        register int neg = 1;
        while(*op < '0' || *op > '9') if(*op++ == '-') neg = -1;
        while(*op >= '0' && *op <= '9') res = res * 10 + *op++ - '0';
        return res * neg;
    }
    inline char readchar() {
        return *op++;
    }
} ip;

#define readint ip.readint
#define readchar ip.readchar

int n, b[100005];
LL m, c[100005], l[100005], sum[100005], siz[100005], ans = 0;
std::vector<int> son[100005];

int dis[100005], fa[100005], ch[100005][2], rt[100005];

inline int merge(int x, int y) {
    if(!x) return y;
    if(!y) return x;
    if(c[x] < c[y]) std::swap(x, y);
    ch[x][1] = merge(ch[x][1], y);
    fa[ch[x][1]] = x;
    if(dis[ch[x][0]] < dis[ch[x][1]]) std::swap(ch[x][0], ch[x][1]);
    dis[x] = dis[ch[x][1]] + 1;
    return x;
}

int main() {
    dis[0] = -1;
    n = readint();
    m = readint();
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        b[i] = readint();
        c[i] = readint();
        l[i] = readint();
        sum[i] = c[i];
        siz[i] = 1;
        rt[i] = i;
        son[b[i]].push_back(i);
    }
    for(int u = n; u >= 1; u--) {
        for(int i = 0; i < son[u].size(); i++) {
            int v = son[u][i];
            rt[u] = merge(rt[u], rt[v]);
            sum[u] += sum[v];
            siz[u] += siz[v];
        }
        while(sum[u] > m) {
            sum[u] -= c[rt[u]];
            siz[u]--;
            rt[u] = merge(ch[rt[u]][0], ch[rt[u]][1]);
        }
        ans = std::max(ans, siz[u] * l[u]);
    }
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}