题目地址：BZOJ：Problem 3091. — 城市旅行

题目描述

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输入样例#1：

4 5
1 3 2 5
1 2
1 3
2 4
4 2 4
1 2 4
2 3 4
3 1 4 1
4 1 4

输出样例#1：

16/3
6/1

说明

对于所有数据满足 1<=N<=50,000 1<=M<=50,000 1<=Ai<=10^6 1<=D<=100 1<=U,V<=N

题解

参考资料：BZOJ 3091 城市旅行 Link-Cut-Tree – CSDN博客
其实本题是[HAOI2012]高速公路一题扩展到树上的做法。由于树需要动态维护，自然会想到使用LCT。
我们考虑一条树链上的期望应该如何计算，可以求出树链上每个点对期望的分子的贡献，对于a_i，它的贡献是i(n-i+1)，即我们要求的分子是\sum_{i=1}^n a_i \cdot i \cdot (n-i+1)，我们得想办法在LCT上把这个值维护出来。
于是我们就想到了，能不能先求出子树对应树链的答案，然后再怎么样拼起来呢？
我们观察一下结果吧，假设左子树树链长为4，右子树长为2

想求的东西          1*7*a1 + 2*6*a2 + 3*5*a3 + 4*4*a4 + 5*3*a5 + 6*2*a6 + 7*1*a7
两个子树的答案加起来 1*4*a1 + 2*3*a2 + 3*2*a3 + 4*1*a4 +        + 1*2*a6 + 2*1*a7
上式减下式          1*3*a1 + 2*3*a2 + 3*3*a3 + 4*3*a4 + 5*3*a5 + 5*2*a6 + 5*1*a7

a5是树根处的元素可以单独算，3其实是右子树大小+1，5则是左子树大小+1，我们考虑同时维护一个lsum = \sum_{i=1}^n a_i \cdot i和一个rsum = \sum_{i=1}^n a_i \cdot (n-i+1)，就可以借助这些来求整条树链的答案了，即
ans = ans_l + ans_r + (siz_l+1)(siz_r+1)a_{root} + (siz_r+1)(lsum_l) + (siz_l+1)(rsum_r)
而lsum、rsum的合并很简单，只需要把子树元素和乘上另一侧子树的个数+1就好，元素和可以顺便维护一下。
此外，本题还要求一个树链加法标记，如何应用这个加法标记到我们维护的信息上就会是问题。lsum、rsum需要加上add \cdot \sum_{i=1}^n i，比较好办，而期望的分子需要加上add \cdot \sum_{i=1}^n i(n-i+1)，这个并不好办，不过我们有数学方法得到这个求和的公式，最后得出的结果是\sum_{i=1}^n i(n-i+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}。
万事大吉了，剩下的就是把上面的东西码进去。

代码

// Code by KSkun, 2018/6
#include <cstdio>
#include <cctype>

#include <algorithm>
#include <vector>

typedef long long LL;

inline char fgc() {
    static char buf[100000], *p1 = buf, *p2 = buf;
    return p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 100000, stdin), p1 == p2)
        ? EOF : *p1++;
}

inline LL readint() {
    register LL res = 0, neg = 1; register char c = fgc();
    for (; !isdigit(c); c = fgc()) if (c == '-') neg = -1;
    for (; isdigit(c); c = fgc()) res = (res << 1) + (res << 3) + c - '0';
    return res * neg;
}

const int MAXN = 50005;

struct Node {
    int ch[2], fa; LL siz, val, lsum, rsum, sum, exp;
    bool rev; LL add;
} tr[MAXN];

inline bool isleft(int p) {
    return tr[tr[p].fa].ch[0] == p;
}

inline bool isroot(int p) {
    return tr[tr[p].fa].ch[0] != p && tr[tr[p].fa].ch[1] != p;
}

inline void update(int p) {
    tr[p].siz = tr[tr[p].ch[0]].siz + tr[tr[p].ch[1]].siz + 1;
    tr[p].sum = tr[tr[p].ch[0]].sum + tr[tr[p].ch[1]].sum + tr[p].val;
    tr[p].lsum = tr[tr[p].ch[0]].lsum + tr[p].val * (tr[tr[p].ch[0]].siz + 1) 
        + tr[tr[p].ch[1]].lsum + tr[tr[p].ch[1]].sum * (tr[tr[p].ch[0]].siz + 1);
    tr[p].rsum = tr[tr[p].ch[0]].rsum + tr[tr[p].ch[0]].sum * (tr[tr[p].ch[1]].siz + 1) 
        + tr[p].val * (tr[tr[p].ch[1]].siz + 1) + tr[tr[p].ch[1]].rsum;
    tr[p].exp = tr[tr[p].ch[0]].exp + tr[tr[p].ch[1]].exp 
        + tr[tr[p].ch[0]].lsum * (tr[tr[p].ch[1]].siz + 1) 
        + tr[tr[p].ch[1]].rsum * (tr[tr[p].ch[0]].siz + 1) 
        + (tr[tr[p].ch[0]].siz + 1) * (tr[tr[p].ch[1]].siz + 1) * tr[p].val;
}

inline void reverse(int p) {
    std::swap(tr[p].ch[0], tr[p].ch[1]);
    std::swap(tr[p].lsum, tr[p].rsum);
    tr[p].rev ^= 1;
}

inline void add(int p, LL v) {
    tr[p].val += v;
    tr[p].sum += v * tr[p].siz;
    tr[p].lsum += v * tr[p].siz * (tr[p].siz + 1) / 2;
    tr[p].rsum += v * tr[p].siz * (tr[p].siz + 1) / 2;
    tr[p].exp += v * tr[p].siz * (tr[p].siz + 1) * (tr[p].siz + 2) / 6;
    tr[p].add += v;
}

inline void pushdown(int p) {
    if(tr[p].rev) {
        if(tr[p].ch[0]) reverse(tr[p].ch[0]);
        if(tr[p].ch[1]) reverse(tr[p].ch[1]);
        tr[p].rev ^= 1;
    }
    if(tr[p].add) {
        if(tr[p].ch[0]) add(tr[p].ch[0], tr[p].add);
        if(tr[p].ch[1]) add(tr[p].ch[1], tr[p].add);
        tr[p].add = 0;
    }
}

int sta[MAXN], stop;

inline void pushto(int p) {
    stop = 0;
    while(!isroot(p)) {
        sta[stop++] = p; p = tr[p].fa;
    }
    sta[stop++] = p;
    while(stop) {
        pushdown(sta[--stop]);
    }
}

inline void rotate(int p) {
    bool t = !isleft(p); int fa = tr[p].fa, ffa = tr[fa].fa;
    tr[p].fa = ffa; if(!isroot(fa)) tr[ffa].ch[!isleft(fa)] = p;
    tr[fa].ch[t] = tr[p].ch[!t]; tr[tr[fa].ch[t]].fa = fa;
    tr[p].ch[!t] = fa; tr[fa].fa = p;
    update(fa);
}

inline void splay(int p) {
    pushto(p);
    for(int fa = tr[p].fa; !isroot(p); rotate(p), fa = tr[p].fa) {
        if(!isroot(fa)) rotate(isleft(fa) == isleft(p) ? fa : p);
    }
    update(p);
}

inline void access(int p) {
    for(int q = 0; p; q = p, p = tr[p].fa) {
        splay(p); tr[p].ch[1] = q; update(p);
    }
}

inline void makert(int p) {
    access(p); splay(p); reverse(p);
}

inline int findrt(int p) {
    access(p); splay(p);
    while(tr[p].ch[0]) p = tr[p].ch[0];
    return p;
}

inline void split(int u, int v) {
    makert(u); access(v); splay(v);
}

inline void link(int u, int v) {
    if(findrt(u) == findrt(v)) return;
    split(u, v); tr[u].fa = v;
}

inline void cut(int u, int v) {
    split(u, v);
    if(tr[v].ch[0] != u || tr[u].ch[1]) return;
    tr[u].fa = tr[v].ch[0] = 0; update(v);
}

int n, m;
std::vector<int> gra[MAXN];

inline void dfs(int u, int fa) {
    for(int i = 0; i < gra[u].size(); i++) {
        int v = gra[u][i];
        if(v == fa) continue;
        tr[v].fa = u;
        dfs(v, u);
    }
}

inline LL gcd(LL x, LL y) {
    if(!y) return x;
    return gcd(y, x % y);
}

int main() {
    n = readint(); m = readint();
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        tr[i].val = readint(); update(i);
    }
    for(int i = 1, a, b; i < n; i++) {
        a = readint(); b = readint();
        gra[a].push_back(b); gra[b].push_back(a);
    }
    dfs(1, 0);
    int op, u, v; LL d;
    while(m--) {
        op = readint(); u = readint(); v = readint();
        if(op == 1) {
            cut(u, v);
        } else if(op == 2) {
            link(u, v);
        } else if(op == 3) {
            d = readint(); if(findrt(u) != findrt(v)) continue;
            split(u, v); add(v, d);
        } else {
            if(findrt(u) != findrt(v)) {
                puts("-1"); continue;
            }
            split(u, v);
            LL up = tr[v].exp, down = (tr[v].siz + 1) * tr[v].siz / 2, g = gcd(up, down);
            printf("%lld/%lld\n", up / g, down / g);
        }
    }
    return 0;
}